El efecto fotoeléctrico

A finales del siglo XIX, mientras se recolectaba información sobre la radiación térmica, algunos experimentos demostraron que una luz incidente sobre ciertas superficies metálicas provoca la emisión de electrones de esas superficies. Este fenómeno se conoce como efecto fotoeléctrico.

Los notables aspectos del efecto fotoeléctrico cuando se observó primeramente fueron:

•         Los electrones se emitían inmediatamente ¡sin retraso de tiempo!
•        El aumento de la intensidad de la luz aumentaba el número de fotoelectrones, pero ¡no su energía cinética máxima!
•        La luz roja no causa eyección de electrones, ¡no importa cuál sea la intensidad!
•       Una débil luz violeta expulsa sólo unos pocos electrones, pero sus energías cinéticas máximas, ¡son mayores que las de la luz intensa de mayor longitud de onda

Los detalles del efecto fotoeléctrico, entraron en contradicción directa con las expectativas de la muy bien desarrollada física clásica.

El análisis de datos del experimento fotoelectrico mostró que la energía de los electrones emitidos, era proporcional a la frecuencia de la luz de iluminación. Esto demostraba que lo que anulaba la salida de electrones, tenía una energía proporcional a la frecuencia de la luz. El hecho notable que la energía de expulsión fuera independiente de la energía de iluminación total, mostraba que la interacción debería ser igual que la de una partícula que diera ¡toda su energía al electrón!

Para estudiar este fenómeno se diseñaron varios aparatos,  a continuación el diagrama de uno de ellos para notar con más facilidad algunos puntos importantes:

Aquí  un diagrama de la corriente fotoeléctrica en función de la diferencia de potencial ΔV aplicada entre las placas E y C para dos intensidades de luz. Con valores grandes de ΔV, la corriente alcanza un valor máximo; todos los electrones emitidos por E son recolectados en C, y la corriente no puede aumentar más. Además, la corriente máxima aumenta conforme se incrementa la intensidad de la luz incidente, como podría esperarse, ya que una luz de mayor intensidad emite mayor cantidad de electrones. Por último, cuando ΔV es negativo, es decir, cuando se invierte la batería del circuito haciendo que la placa E sea positiva y la placa C negativa, la corriente cae porque muchos de los fotoelectrones emitidos por E son repelidos por la placa C, que ahora es negativa.

Considere que la combinación del campo eléctrico entre las placas y un electrón expulsado de la placa E es un sistema aislado. Suponga que este electrón se detiene justo cuando llega a la placa C. Porque es un sistema aislado, deberá conservarse la energía mecánica total del sistema:

donde la configuración 1 se refiere al instante en que el electrón abandona el metal con una energía cinética K1 y la configuración 2 al momento en que el electrón se frena, justo antes de tocar la placa C. Si define igual a cero la energía potencial eléctrica del sistema en la configuración 1, tiene:

Ahora, suponga que incrementa la diferencia de potencial ΔV en la dirección negativa, justo hasta que la corriente es cero. En este caso, el electrón que se frena justo antes de alcanzar la placa C tendrá la energía cinética máxima posible al abandonar la superficie metálica, y ΔV será igual al potencial de frenado Vs. En tal caso la ecuación anterior puede escribirse como:

Esta ecuación permitirá medir K_max en forma experimental, al determinar el voltaje ΔVs, en el cual la corriente disminuye hasta cero. 

En 1905 Einstein aporto una explicación exitosa del efecto fotoeléctrico, en el mismo año en que publico su teoría especial de la relatividad. Como parte de su trabajo general sobre la radiación electromagnética, por el cual recibió el premio Nobel en 1921, Einstein amplio el concepto de cuantizacion de Planck a las ondas electromagnéticas, supuso que la luz (o cualquier otra onda electromagnética) de frecuencia ƒ se puede considerar un flujo de cuantos, independientemente de la fuente de la radiación. Hoy en día a esos cuantos les llamamos fotones. Cada foto tiene una energía E, dada por E =hƒ, y se mueve en el vacío a la rapidez de la luz c.

En el modelo de Einstein del efecto fotoeléctrico, un fotón de la luz incidente transfiere toda su energía hƒ a un electrón particular en el metal. Debido a eso, la absorción de energía por parte de los electrones no es un proceso de absorción continuo, como se asumía en el modelo ondulatorio, sino un proceso discontinuo en el cual la energía es entregada a los electrones en paquetes discretos. La transferencia de energía se lleva a cabo mediante un evento que incluye un fotón y un electrón.

Los electrones expulsados de la superficie del metal y que no entran en colisión con otros átomos del metal antes de escapar tienen una energía cinética máxima K_max. De acuerdo con Einstein, la energía cinética máxima de estos electrones liberados es igual a:

donde Φ se llama la función trabajo del metal. La función trabajo representa la energía mínima con la cual un electrón está unido en el metal y tiene un valor del orden de unos cuantos electrón volts.

Referencias:

• Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.
• Hyperphysics. Wave-Particle duality. from: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mod1.html#c5

Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck (resumen)

Un objeto a cualquier temperatura emite ondas electromagnéticas en la forma de radiación térmica desde superficie. Las características de esta radiación dependen de la temperatura y de las propiedades de la superficie del objeto. Si el objeto se encuentra a temperatura ambiente, la radiación térmica tendrá longitudes de onda principalmente en la región infrarroja y, por esto, no podrá ser detectada a simple vista. Conforme aumenta la temperatura superficial del objeto, llegara un momento en que este comenzara a resplandecer con un color rojo visible. A temperaturas suficientemente altas, el objeto resplandeciente parece blanco.

Desde un punto de vista clásico, la radiación térmica tiene su origen a causa de las partículas con carga y aceleradas en los átomos que están cerca de la superficie del objeto; estas partículas con carga emiten abundante radiación. Las partículas agitadas térmicamente tienen una distribución de energía que explica el espectro continuo de radiación emitido por el objeto. Sin embargo, hacia finales del siglo XIX, fue evidente que la teoría clásica de la radiación térmica era inadecuada. El problema básico era comprender la distribución observada de longitudes de onda de la radiación emitida por un cuerpo negro.  

Una buena aproximación a un cuerpo negro es un orificio pequeño que conduce al interior de un objeto hueco. Toda la radiación que incide en el orificio desde el exterior de la cavidad penetra en la abertura y es reflejada varias veces por las paredes internas de la cavidad, por esto, el orificio funciona como un absorbente perfecto. La naturaleza de la radiación que abandona la cavidad a través del orificio depende solo de la temperatura de las paredes de la cavidad y no del material del que las paredes están fabricadas.   

La distribución de las longitudes de onda de la radiación desde las cavidades fue estudiada

experimentalmente a finales del siglo xix.  Algunos descubrimientos significativos fueron:

1.     La potencia total de la radiación emitida aumenta con la temperatura. (Ley de Stefan):

Dónde:

σ: es la constante Stefan-Boltzmann, igual a 5.670 _ 10_8 W/m2 _ K4

Ρ: es la potencia en watts radiada en todas las longitudes de onda desde la superficie

A: es el área de la superficie del objeto en metros cuadrados

e: es la emisividad de la superficie: (En el caso de un cuerpo negro, el valor de emisividad es exactamente e =1)

T: es la temperatura de la superficie en grados kelvin.

2. El pico de la distribución de la longitud de onda se desplaza hacia longitudes de onda

más cortas conforme aumenta la temperatura. Este comportamiento se describe mediante

la correspondencia siguiente, conocida como ley de desplazamiento de Wien:

 

donde λmax es la longitud de onda en la que el máximo de la curva

T es la temperatura absoluta de la superficie del objeto que emite la radiación.

Una teoría adecuada para la radiación de cuerpo negro debía predecir la forma de las curvas, la dependencia con la temperatura expresada en la ley de Stefan y el corrimiento del pico en función de la temperatura descrito por la ley de desplazamiento de Wien. Los primeros intentos que utilizaron ideas clásicas para explicar las formas de estas curvas fallaron.

Considere uno de estos primeros intentos. Para describir la distribución de la energía de un cuerpo negro, resulta útil definir I (λ, T) dλ como la intensidad o la potencia por unidad de área emitida en el intervalo de longitud de onda dλ. El resultado del cálculo según la teoría clásica de la radiación de un cuerpo negro, conocido como ley de Rayleigh-Jeans es:

donde kB es la constante de Boltzmann.

El cuerpo negro se representa como un orificio que conduce a una cavidad que contiene muchos modos de oscilación del campo electromagnético causado por cargas aceleradas en las paredes de la cavidad, lo que da como resultado la emisión de ondas electromagnéticas en todas las longitudes de onda.

En el caso de longitudes de onda largas, la ley de Rayleigh-Jeans coincide razonablemente con la información experimental, pero en longitudes de onda cortas la diferencia es apreciable.

Por esto, de acuerdo con la teoría clásica, no solo deben predominar las longitudes de onda corta en el espectro de un cuerpo negro, sino que también la energía emitida por cualquier cuerpo negro debe tender al infinito en el límite de una longitud de onda cero. En contraste con esta predicción, los datos experimentales, los cuales  conforme λ se aproxima a cero, I (λ, T) también se aproxima a cero.  

En el año 1900, Max Planck desarrollo una teoría para la radiación de un cuerpo negro que conduce a una ecuación para I (λ, T) que está en total acuerdo con los resultados experimentales a todas las longitudes de onda. Planck formulo dos atrevidas y controvertidas hipótesis respecto a la naturaleza de los osciladores en las paredes de la cavidad:

• ·           La energía de un oscilador solo puede tener ciertos valores discretos En:

donde n es un entero positivo conocido como número cuántico, f es la frecuencia de la oscilación y h es un parámetro introducido por Planck y que hoy se conoce como la constante de Planck. Porque la energía de cada oscilador solo puede tener valores discretos, se dice que la energía esta cuantizada.  

• ·           Los osciladores emiten o absorben energía cuando realizan una transición de un estado cuántico a otro.

Toda la diferencia de energía entre los estados inicial y final de la transición es emitida o absorbida como un solo cuanto de radiación. Si la transición es a causa de un estado a otro inmediatamente inferior, por ejemplo, del estado n =3 al estado n =2, la cantidad de energía emitida por el oscilador es igual a:

El punto clave en la teoría de Planck es la hipótesis radical de los estados cuantiados de la energía. Este desarrollo represento una clara separación de la física clásica y marco el nacimiento de la teoría cuántica.

En el modelo de Rayleigh-Jeans, la energía promedio asociada con una longitud de onda especifica de las onda. Planck utilizo las mismas ideas clásicas que en el modelo  para llegar con la densidad de energía para una longitud de onda determinada como un producto de valores constantes y la energía promedio, pero la energía promedio no se proporciona por el teorema de equiparticion. La energía promedio de una onda es la diferencia de energía promedio entre los niveles del oscilador, ponderados de acuerdo con la probabilidad de la onda que se está emitiendo.  

Utilizando este procedimiento, Planck genero una expresión teórica para la distribución de la longitud de onda:

  

Esta función incluye el parámetro h que Planck ajusto de manera que su curva coincidiera con la información experimental en todas las longitudes de onda. Se determinó que este parámetro es independiente del material con el cual está hecho el cuerpo negro e independiente de la temperatura; se trata de una constante fundamental de la naturaleza:

Referencias:

Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.

Momento lineal relativista y energía relativistas

Comencemos por definir (más información) el momento lineal relativista como:

Ahora para deducir la forma relativista del teorema del trabajo y energía cinética, imaginemos una partícula que se mueve en una dimensión a lo largo del eje x. Una fuerza en la dirección x hace que la cantidad de movimiento de la partícula cambie, calcularemos el trabajo invertido por la fuerza y supondremos que la partícula se acelera desde cero hasta una rapidez u.

Evaluemos dp/dt

 Y sustituyamos dp/dt y d=u dt en la primera ecuación obteniendo:

Usando los límites 0 y u encontraremos:

Y dado que la rapidez inicial de la partícula es cero (por lo tanto su energía cinética inicial es cero) W será igual a la energía cinética relativista:

El termino mc² que es independiente de la rapidez de la partícula se denomina energía de reposo.

Por lo tanto la masa es una forma de energía. ¡WOW!

El termino  γ mc²  depende de la rapidez de la partícula y es la suma de las energías cinética y en reposo, se le conoce como energía total:

Podemos expresar esta energía total a través del momento  lineal:

Para partículas sin masa como el fotón la energía es igual a:

Hagamos énfasis en que como la masa m de una partícula es independiente de su movimiento, m debe tener el mismo valor en todos los marcos de referencia. Por esta razón, con frecuencia m se denomina masa invariante. Por otra parte, porque la energía total y la cantidad de movimiento lineal de una partícula dependen de la velocidad, estas cantidades dependen del marco de referencia en el que se miden.

Referencias:

Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.

Transformación de velocidad relativista

Supongamos que una nave  viaja a 0.8c y de pronto dispara un proyectil con una velocidad de 0.7c; ¿El proyectil alcanzara la velocidad de la luz?

Definitivamente NO!  Las velocidades deben transformarse de acuerdo con la transformacion de Lorentz y esto nos lleva a un resultado muy anti-intuitivo llamado adición de velocidades de Einstein.

Analicemos un caso generalizado para poder resolver la incógnita anterior:

Supongamos que dos individuos, cada uno en su MRI y en movimiento con respecto al otro, observan un objeto en movimiento; ¿Cómo es que las mediciones de los observadores de la velocidad de un objeto se relacionan entre ellas si la rapidez del cuerpo es cercana a la de la luz?

Asumamos que la partícula está viajando a una velocidad u cra el MRI S y; S’ se mueve a una velocidad v cra S.

u'=dx'/dt', es la velocidad de la partícula medida desde S’. Desarrollemos u’ derivando las trasformaciones de Lorentz:

Obteniendo:

La transformación inversa se obtiene calculando u en la expresión anterior. 

Ahora apliquemos esta transformación a la incógnita detonante: 

contrario a la intuición que apunta a que u=1.5c.

Referencias:

• Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.
• Hyperphysics. Lorentz Velocity Transformation. from: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/relativ/veltran.html

Ecuaciones de transformación de Lorentz

Supongamos que existen un par de individuos: cada uno en su MIR, y ocurren dos eventos P y Q; los cuales son reportados por los dos observadores, cada uno en su marco inercial de referencia, un marco S y otro en un marco S’ que se mueve a la derecha con una rapidez v, respecto al marco S. El observador en S reporta un evento con coordenadas de espaciotiempo (x, y, z, t), mientras que el observador en S’ reporta el mismo evento con las coordenadas (x’, y’, z’, t’). Podría pensarse que la distancia entre los 2 puntos en el espacio donde se presentaron los eventos no depende del movimiento de los observadores, sin embargo ya sabemos que cuando v tiende a c, hay contracciones en la longitud, en la coordenada de movimiento, por lo tanto las transformaciones galileanas no son válidas en estos casos. Las ecuaciones que son válidas para todas las magnitudes de velocidades y por ende, hacen de las expresiones galileanas un caso particular, son las Ecuaciones de Transformación de Lorentz: 

fueron desarrolladas por Hendrick A. Lorentz en 1890. Estas ecuaciones tienen una interpretación muy importante dentro de la estructura de la teoría especial de la relatividad.

Transformación inversa de Lorentz

Muchas veces es conveniente saber la diferencia en las coordenadas entre dos eventos o el intervalo entre 2 eventos considerado por ambos observadores O y O’.

Referencias

• Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.
• Hyperphysics. Lorentz Transformation. from: http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbasees/relativ/ltrans.html#c2