Radiación de cuerpo negro e hipótesis de Planck (resumen)

Un objeto a cualquier temperatura emite ondas electromagnéticas en la forma de radiación térmica desde superficie. Las características de esta radiación dependen de la temperatura y de las propiedades de la superficie del objeto. Si el objeto se encuentra a temperatura ambiente, la radiación térmica tendrá longitudes de onda principalmente en la región infrarroja y, por esto, no podrá ser detectada a simple vista. Conforme aumenta la temperatura superficial del objeto, llegara un momento en que este comenzara a resplandecer con un color rojo visible. A temperaturas suficientemente altas, el objeto resplandeciente parece blanco.

Desde un punto de vista clásico, la radiación térmica tiene su origen a causa de las partículas con carga y aceleradas en los átomos que están cerca de la superficie del objeto; estas partículas con carga emiten abundante radiación. Las partículas agitadas térmicamente tienen una distribución de energía que explica el espectro continuo de radiación emitido por el objeto. Sin embargo, hacia finales del siglo XIX, fue evidente que la teoría clásica de la radiación térmica era inadecuada. El problema básico era comprender la distribución observada de longitudes de onda de la radiación emitida por un cuerpo negro.  

Una buena aproximación a un cuerpo negro es un orificio pequeño que conduce al interior de un objeto hueco. Toda la radiación que incide en el orificio desde el exterior de la cavidad penetra en la abertura y es reflejada varias veces por las paredes internas de la cavidad, por esto, el orificio funciona como un absorbente perfecto. La naturaleza de la radiación que abandona la cavidad a través del orificio depende solo de la temperatura de las paredes de la cavidad y no del material del que las paredes están fabricadas.   

La distribución de las longitudes de onda de la radiación desde las cavidades fue estudiada

experimentalmente a finales del siglo xix.  Algunos descubrimientos significativos fueron:

1.     La potencia total de la radiación emitida aumenta con la temperatura. (Ley de Stefan):

Dónde:

σ: es la constante Stefan-Boltzmann, igual a 5.670 _ 10_8 W/m2 _ K4

Ρ: es la potencia en watts radiada en todas las longitudes de onda desde la superficie

A: es el área de la superficie del objeto en metros cuadrados

e: es la emisividad de la superficie: (En el caso de un cuerpo negro, el valor de emisividad es exactamente e =1)

T: es la temperatura de la superficie en grados kelvin.

2. El pico de la distribución de la longitud de onda se desplaza hacia longitudes de onda

más cortas conforme aumenta la temperatura. Este comportamiento se describe mediante

la correspondencia siguiente, conocida como ley de desplazamiento de Wien:

 

donde λmax es la longitud de onda en la que el máximo de la curva

T es la temperatura absoluta de la superficie del objeto que emite la radiación.

Una teoría adecuada para la radiación de cuerpo negro debía predecir la forma de las curvas, la dependencia con la temperatura expresada en la ley de Stefan y el corrimiento del pico en función de la temperatura descrito por la ley de desplazamiento de Wien. Los primeros intentos que utilizaron ideas clásicas para explicar las formas de estas curvas fallaron.

Considere uno de estos primeros intentos. Para describir la distribución de la energía de un cuerpo negro, resulta útil definir I (λ, T) dλ como la intensidad o la potencia por unidad de área emitida en el intervalo de longitud de onda dλ. El resultado del cálculo según la teoría clásica de la radiación de un cuerpo negro, conocido como ley de Rayleigh-Jeans es:

donde kB es la constante de Boltzmann.

El cuerpo negro se representa como un orificio que conduce a una cavidad que contiene muchos modos de oscilación del campo electromagnético causado por cargas aceleradas en las paredes de la cavidad, lo que da como resultado la emisión de ondas electromagnéticas en todas las longitudes de onda.

En el caso de longitudes de onda largas, la ley de Rayleigh-Jeans coincide razonablemente con la información experimental, pero en longitudes de onda cortas la diferencia es apreciable.

Por esto, de acuerdo con la teoría clásica, no solo deben predominar las longitudes de onda corta en el espectro de un cuerpo negro, sino que también la energía emitida por cualquier cuerpo negro debe tender al infinito en el límite de una longitud de onda cero. En contraste con esta predicción, los datos experimentales, los cuales  conforme λ se aproxima a cero, I (λ, T) también se aproxima a cero.  

En el año 1900, Max Planck desarrollo una teoría para la radiación de un cuerpo negro que conduce a una ecuación para I (λ, T) que está en total acuerdo con los resultados experimentales a todas las longitudes de onda. Planck formulo dos atrevidas y controvertidas hipótesis respecto a la naturaleza de los osciladores en las paredes de la cavidad:

• ·           La energía de un oscilador solo puede tener ciertos valores discretos En:

donde n es un entero positivo conocido como número cuántico, f es la frecuencia de la oscilación y h es un parámetro introducido por Planck y que hoy se conoce como la constante de Planck. Porque la energía de cada oscilador solo puede tener valores discretos, se dice que la energía esta cuantizada.  

• ·           Los osciladores emiten o absorben energía cuando realizan una transición de un estado cuántico a otro.

Toda la diferencia de energía entre los estados inicial y final de la transición es emitida o absorbida como un solo cuanto de radiación. Si la transición es a causa de un estado a otro inmediatamente inferior, por ejemplo, del estado n =3 al estado n =2, la cantidad de energía emitida por el oscilador es igual a:

El punto clave en la teoría de Planck es la hipótesis radical de los estados cuantiados de la energía. Este desarrollo represento una clara separación de la física clásica y marco el nacimiento de la teoría cuántica.

En el modelo de Rayleigh-Jeans, la energía promedio asociada con una longitud de onda especifica de las onda. Planck utilizo las mismas ideas clásicas que en el modelo  para llegar con la densidad de energía para una longitud de onda determinada como un producto de valores constantes y la energía promedio, pero la energía promedio no se proporciona por el teorema de equiparticion. La energía promedio de una onda es la diferencia de energía promedio entre los niveles del oscilador, ponderados de acuerdo con la probabilidad de la onda que se está emitiendo.  

Utilizando este procedimiento, Planck genero una expresión teórica para la distribución de la longitud de onda:

  

Esta función incluye el parámetro h que Planck ajusto de manera que su curva coincidiera con la información experimental en todas las longitudes de onda. Se determinó que este parámetro es independiente del material con el cual está hecho el cuerpo negro e independiente de la temperatura; se trata de una constante fundamental de la naturaleza:

Referencias:

Serway;Jewett. Física para Ciencias e ingenierías. 2009,7ma edición.